Archivo mensual: junio 2013

Hijos de la supernova

La noche, oscura, nos brinda un espectáculo. El cielo se nos muestra repleto de pequeños puntos brillantes, parecen débiles, parpadean, y a primera vista parecen incontables. Son las estrellas. A pesar de que se nos muestran diminutos y de brillo débil a simple vista, en realidad, son titánicos objetos de dimensiones increíbles. En una estrella como nuestro Sol caben un millón de planetas como la Tierra, pero esto no es nada, existen estrellas mucho más grandes que nuestro Sol.

M42(nebulosa ade Orión): Credit: NASA, ESA, M.Robberto(STScI/ESA)et al.

M42(nebulosa ade Orión): Credit: NASA, ESA, M.Robberto(STScI/ESA)et al.

Pero, ¿de donde vienen las estrellas? Parecen inmutables, pues a lo largo de una vida humana, rara es la vez que apreciamos un cambio en ellas. Las estrellas no son eternas ni inmutables, a lo largo de su vida experimentan cambios y su existencia es limitada en el tiempo, nacen y con el tiempo se extinguen.

Las seis mil estrellas que vemos a simple vista en una noche despejada y desde un sitio sin contaminación lumínica, no son más que una pequeña e insignificante representación de las estrellas que pueblan nuestra galaxia, pues en esta hay aproximadamente más de cien mil millones de estrellas.

Hace años que la especie humana ha sido capaz de descubrir de donde viene las estrellas, sabemos donde se forman esos luceros que tachonan nuestras noches. Las estrellas son ingentes esferas de gas, compuestas principalmente de hidrógeno. Se forman a partir de nubes donde abunda el hidrógeno molecular, que simplemente es una molécula formada por dos átomos de hidrógeno unidos. Estas nubes son muy densas comparadas con la densidad del medio interestelar, en ellas se llega a alcanzar las mil o diez mil moléculas por centímetro cúbico. Estas nubes moleculares tienen masas increíbles pues pueden llegar a alcanzar diez millones de veces la masa de nuestro Sol. Solo el agujero negro del centro de la Vía Láctea parece ser capaz de superar la masa de estas nubes.

Pero donde no tienen rival, donde ningún otro objeto de la galaxia se las puede comparar es en su extensión, pues pueden llegar a ocupar extensiones de 300 años luz. Podemos hacernos una idea de los tamaños de estas nubes si nos fijamos en M42, la nebulosa de Orión. Dicha nebulosa es visible a simple vista. Se ve como una pequeña nubosidad justo debajo de las tres estrellas que forman el cinturón de dicha constelación. A través de un telescopio se puede observar en detalle la belleza de dicha nube, pero para conocer su verdadero tamaño debemos recurrir a imágenes en el infrarrojo. Gracias a las observaciones del satélite IRAS sabemos que M42 tiene un tamaño superior a la constelación de Orión entera. Observar el tamaño aparente de dicha constelación en nuestros cielos nos da una idea aproximada de la inmensidad de dicha nebulosa.

Las nubes moleculares son frías, muy frías, sus temperaturas se mueven en el rango de los -170 a los -260 grados centígrados. La temperatura es la escala con la que medimos el calor, y este, en última instancia, no es más que el nombre que le damos al movimiento de las moléculas de un cuerpo. Un cuerpo que esté más caliente que otro significa que sus moléculas se están agitando más rápidamente. A pesar de las bajas temperaturas de las nubes moleculares, sus constituyentes tienen el movimiento suficiente como para conseguir que la nube no colapse. Pero, para que una estrella pueda nacer, se necesita que precisamente la nube o parte de la misma empiece a colapsar, así pues, se necesita algo que inicie dicho colapso.

Hay varios mecanismos que pueden iniciar la formación estelar. Uno de ellos se debe a las ondas de densidad que dan forma a la estructura espiral de nuestra galaxia. Por delante de dichas ondas de densidad viaja siempre una onda de choque, que al interactuar con la nube molecular hace que esta colapse, dando así el primer paso hacia la formación estelar. El choque entre dos nubes moleculares o el choque entre dos galaxias también pueden servir como el proceso que desencadena el colapso de nubes moleculares.

Otro mecanismo son las supernovas. Las supernovas son la espectacular explosión con la que algunas estrellas llegan al final de sus días. Dichas explosiones forman ondas de choque, que de impactar con una nube molecular, pueden desencadenar el proceso de colapso y poner en camino el nacimiento de nuevas estrellas.

Nuestro Sol es una estrella y por lo tanto tanto él, como la corte de planetas, asteroides y cometas que le acompañan debieron surgir de la misma nube molecular. Pero en el caso de nuestro Sistema Solar, ¿qué causó el colapso inicial? La respuesta a esta pregunta no está cerrada. Pero la mañana del 8 de febrero de 1969 pruebas del posible causante del colapso llegaron a la Tierra en forma de meteorito, el meteorito Allende, que siendo del tamaño aproximado de un coche, irrumpió en nuestra atmósfera. El fuerte rozamiento al que se vio sometido hizo que brillara, convirtiéndose para cualquier espectador terrestre en una bola de fuego que cruzaba los cielos de México. El rozamiento con la atmósfera consiguió fragmentar el meteorito haciendo que así cayeran sobre la Tierra distintos fragmentos del mismo y estos cayeron cerca de Pueblito de Allende en el estado de Chihuahua.

Imagen del meteorito Allende: Image credit: NASA GSFC

Imagen del meteorito Allende: Image credit: NASA GSFC

Los análisis del meteorito de Allende han revelado que este es anormalmente rico en el isótopo 26 del magnesio, este isótopo se forma a partir del aluminio 26, el cual se produce en las explosiones de supernovas. Así pues, parece ser que el causante de la aparición de nuestro Sistema Solar, y en última instancia de nosotros mismos, fue una supernova. La titánica explosión de una estrella moribunda que explotó hace algo más de 4.500 millones de años, generando una onda de choque que impactó contra una nube molecular, iniciando el colapso de la misma y desencadenando los procesos que dieron lugar al Sol y al resto de componentes del Sistema Solar.

En la oscuridad de la noche es donde hemos encontrado nuestras raíces. Si alguna vez te has preguntado de donde venimos, la respuesta más probable es que en realidad somos hijos de la supernova. La respuesta a nuestro origen, en última instancia, es que provenimos de las estrellas.

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Este post ha sido realizado por Ismael Pérez (@Hominidos) y es una colaboración de Naukas con la Cátedra de Cultura Científica de la UPV/EHU.

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“Leonardo Torres Quevedo, el más prodigioso inventor de su tiempo” por F.A. González Redondo

Leonardo Torres Quevedo | Fuente: Wikimedia Commons

Leonardo Torres Quevedo | Fuente: Wikimedia Commons

Este texto de Francisco A. González Redondo apareció originalmente en el número 4 de la revista CIC Network (2008) y lo reproducimos en su integridad por su interés.

Leonardo Torres Quevedo, caracterizado por Maurice D’Ocagne (Presidente de la Sociedad Matemática Francesa) como “el más prodigioso inventor de su tiempo”, ocupa un lugar de excepcional relieve en la historia universal de la ciencia y de la técnica. Patenta un sistema de dirigibles autorrígidos (1902-1906) estableciendo los fundamentos para la aerostación dirigida hasta el presente; inventa el primer aparato de mando a distancia, el telekino (1902); construye el primer funicular aéreo para pasajeros del mundo, el transbordador del Monte Ulía (1907); y, sobre todo, con su obra teórica cumbre, los Ensayos sobre Automática (1914), sus ajedrecistas (1914, 1922) y su aritmómetro electromecánico (1920), el primer ordenador en sentido actual de la historia, se adelanta en varias décadas a los pioneros de la Informática del siglo XX.

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La conjetura de Goldbach

El pasado mes de mayo (de 2013) se difundió velozmente a través de la red que había sido demostrada la conjetura débil de Goldbach, llegando incluso a ser recogida la noticia por medios de comunicación más tradicionales, como por ejemplo el periódico ABC, “Un matemático peruano resuelve un problema de hace casi tres siglos”. La conjetura débil de Goldbach dice que…

todo número mayor que cinco puede escribirse como

 suma de tres números primos”.

El autor de la demostración de este problema abierto desde hace más de dos siglos y medio, es el matemático peruano Harald Andrés Helfgott (Centre National de la Recherche Scientifique – CNRS, París, Francia), quien colgó, el día 13 de mayo de 2013, su artículo Major arcs for Goldbach’s theorem en la base de preprints ArXiv, completando así su trabajo anterior, Minor arcs for Goldbach’s theorem.

Con este resultado parece que queda más cerca la posible resolución de la famosa conjetura (fuerte) de Goldbach,

todo número par mayor que dos puede escribirse como

 suma de dos números primos”

imagen 1

Pero intentemos empezar por el principio de esta historia, por su autor Christian Goldbach (1690-1764) y las conjeturas que llevan su nombre (la fuerte y la débil). Este matemático nació en la prusiana ciudad de Königsberg (actualmente Kaliningrado, perteneciente a Rusia) en 1690. Viajó mucho por Europa y conoció a matemáticos como Gottfried W. Leibniz, Leonhard Euler o Daniel Bernoulli. En 1725 se fue a trabajar de historiador y profesor de matemáticas a la recién creada Academia de las Ciencias de San Petersburgo, y 3 años más tarde se iría a Moscú para ser tutor de Pedro II de Rusia. Allí moriría en 1764, a la edad de 74 años.

La formulación de la llamada conjetura de Goldbach se gestó en la correspondencia entre el propio Goldbach y su amigo, el gran matemático suizo Leonhard Euler. En una carta de Goldbach a Euler, del 7 de junio de 1742, el autor de la misma le plantea una conjetura relacionada con los números primos, que simplificándola podría expresarse como que “todo número que se puede representar como suma de dos números primos, entonces se puede representar como suma de tres números primos.”

imagen 2

Así vemos que

6 = 3 + 3 = 2 + 2 + 2

7 = 5 + 2 = 3 + 2 + 2

8 = 5 + 3 = 3 + 3 + 2

9 = 7 + 2 = 5 + 2 +2 = 3 + 3 + 3

10 = 7 + 3 = 5 + 5 = 5 + 3 + 2

11 = 7 + 2 +2 = 5 + 3 + 3

y de paso, observamos que 11 no se puede escribir como suma de dos números primos, aunque sí de tres números primos. Luego, dos preguntas interesantes que rápidamente se nos ocurren relacionadas con esto serían ¿qué números se pueden escribir como suma de dos números primos? y ¿pueden todos los números ser escritos como suma de tres números primos?

En su respuesta, Euler le contesta que la conjetura de su carta sería cierta –y él tiene una demostración sencilla- si fuese cierta la observación que Goldbach le había hecho en una carta anterior “todo número par mayor que dos puede escribirse como suma de dos números primos” (¡y ahí tenemos la conjetura!)

Este fue el punto de inicio de lo que se ha dado en llamar la conjetura de Goldbach (o también la conjetura fuerte de Goldbach). Siendo la conjetura débil de Goldbach… “todo número mayor que cinco puede escribirse como suma de tres números primos”. Y la demostración que Euler mencionaba en su carta (podéis verla en el libro [1] de la bibliografía) establecería que si es cierta la conjetura fuerte, entonces es cierta la débil (que es el resultado que el matemático prusiano mencionaba en la carta de junio de 1742).

Por cierto, en esa misma carta Goldbach escribe lo siguiente…

“No creo que sea totalmente inútil plantear aquellas proposiciones que son muy probables aunque falte una verdadera demostración, pues aun cuando se descubra que son incorrectas, pueden conducir al descubrimiento de una nueva verdad.”

Esta es una reflexión muy interesante sobre las matemáticas en sí mismas. Pero vayamos de nuevo a la conjetura de Goldbach…

“todo número par mayor que dos puede escribirse como suma de dos números primos”

Podemos ver qué pasa con los primeros números…

4 = 2 + 2

6 = 3 + 3

8 = 3 + 5

10 = 3 + 7 = 5 + 5

12 = 5 + 7

14 = 3 + 11 = 7 + 7

16 = 3 + 13 = 5 + 11 …

 

… una primera cuestión que se observa es que esa descomposición, si existe, no es única… como puede observarse en los números 10, 14 o 16. Pero si observamos el número 22 este puede ser expresado de tres formas distintas, 22 = 11+11 = 17+5 = 19+3.

 

imagen 3

El cometa de Goldbach es la gráfica de la función r(m), que a cada número par m le hace corresponder el número de descomposiciones como suma de dos números primos de m

 

Como comentan Carlos Sánchez y Rita Roldán, en su libro “Goldbach, una conjetura indomable”, un método para ver si un número, por ejemplo el 22, se puede descomponer como suma de dos números primos sería poner dos filas una con los números del 1 hasta la mitad del número (en nuestro caso el 11, que es la mitad de 22) y otra fila del número menos 1 (en nuestro ejemplo, 21) hasta la mitad (de nuevo, 11), de forma que cada columna suma siempre el número (en nuestro caso el 22)… 

Primera fila

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Segunda fila

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

Suma

22

22

22

22

22

22

22

22

22

22

22

Ahora, como en la criba de Eratóstenes para los números primos, se tachan las columnas con números compuestos (es decir, no primos), quedando únicamente las sumas con factores primos. Y para el 22 nos quedaría que como habíamos comentado anteriormente…

22 = 3 + 19 = 5 + 17 = 11 + 11

Pero este método empieza a ser un mal método para los números grandes, y además podrá ser útil para saber si un número par en concreto se puede escribir como suma de dos primos, pero no resuelve para nada la conjetura.

Esta figura triangular muestra cada número par como suma de diferentes números primos

Esta figura triangular muestra cada número par como suma de diferentes números primos

Otro posible método podría ser plantearlo al revés, es decir, coger todas las sumas de dos números primos (empezando por abajo, 2, 3, 5, 7,…) y ver si recorren todos los números pares. Aunque este nos conduce a otro problema complejo sobre la distribución de los números primos…

Desde su formulación este problema (conocido hoy como la conjetura de Goldbach) ha interesado, además de a Euler, a muchos grandes matemáticos como Georg Cantor, Lev Schnirelman, Geoffrey H. Hardy o Ivan Vinogradov, entre muchos otros, lográndose grandes avances (tanto en la conjetura fuerte, como en la débil) pero sin conseguir la tan ansiada demostración del mismo.

Entre los avances que se han conseguido están:

A. La comprobación de la conjetura hasta números pares muy grandes, para lo cual se han utilizado algoritmos eficientes y ordenadores potentes, en particular,…

Autor

año

límite superior

A. Desboves

1855

10.000

N. Pipping

1940

100.000

M. K. Shen

1964

3,3 ´ 107

Stein – Stein

1965

108

A. Granville etal.

1989

2 ´ 1010

Richstein

2001

4 ´ 1014

Oliveira e Silva

2008

12 ´ 1017

 

¡¡ en 2012 se comprobó hasta el número 4 x 1018

(es decir, números con 19 cifras) !!

 

Aunque el avance computacional no resuelve por sí solo el problema, ya que hay infinitos números.

B. También se ha demostrado que la conjetura de Goldbach es cierta para casi todos los números pares, que en este contexto matemático, esta expresión quiere decir que el límite del cociente entre el número de pares menores que m para los que se cumple la conjetura y el número de todos los pares menores que m, es igual a 1 (cuando m tiende a infinito). Intuitivamente, podríamos decir, que para números pares muy, muy grandes, sería raro que no se cumpliera la conjetura.

C. Otro resultado interesante que se ha conseguido probar es que todo número par puede escribirse como suma de, como mucho, 6 primos. (Olivier Ramaré, CNRS, Université des Sciences et Technologies de Lille.)

D. Y por último, como decíamos al principio del artículo, este mismo año 2013 el matemático peruano Harald Andrés Helfgott ha conseguido demostrar la conjetura débil de Goldbach… recordemos que “todo número mayor que cinco puede escribirse como suma de tres números primos”. Y la resolución de la conjetura débil de Goldbach implica un resultado relacionado con la conjetura fuerte, y es que todo número par puede expresarse por tanto como suma de, como mucho, 4 primos.

imagen 5

Para terminar vayamos brevemente a la presencia de la conjetura de Goldbach en la cultura. En el año 2000 se publicaría en varios países la novela “El tío Petros y la conjetura de Goldbach” del griego Apostolos Dioxiadis, que tenía como uno de sus elementos principales la conjetura de Goldbach, puesto que el tío Petros era un matemático que en su tiempo había intentado demostrarla. Para dar publicidad a esta novela, las editoriales Faber and Faber (inglesa) y Bloomsbury (americana) ofrecieron un premio de un millón de dólares para quien resolviera este problema matemático antes de abril de 2002, pero nadie reclamó el premio…

imagen 6

Esta conjetura aparece también en las películas La habitación de Fermat (película española de 2007, dirigida por Rodrigo Sopeña y Luis Piedrahita… al principio de la película se explica la conjetura, y uno de los protagonistas va a presentar una demostración… ) y la Verdad Oculta (de 2005, dirigida por John Madden, y basada en la magnífica obra de teatro Proof de David Aurburn), y se menciona en la segunda película de Futurama (la bestia de un millón de espaldas)

[https://www.youtube.com/watch?v=GjElx-fZX8s]

Bibliografía:

[1] Carlos Sánchez y Rita Roldán, Goldbach, Una conjetura indomable, Nivola, 2009.

[2] Javier Cilleruelo Mateo, La conjetura de Goldbach, La Gaceta de la RSME, volumen 3, n. 3, 2000.

[3] Entrevista a Harald Andrés Helfgott, realizada por Juanjo Rué y Ágata A. Timón (ICMAT), para el blog “Matemáticas y sus fronteras”

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Sobre el autor: Esta anotación ha sido realizada por Raúl Ibáñez, profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica


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