La magia de los números (el teorema de Moessner)

Leyendo estos días el excelente libro The book of numbers de los matemáticos John H. Conway y Richard K. Guy, me he encontrado con un método de construcción de sucesiones numéricas realmente interesante, y de una gran belleza.

Este método de construcción, propuesto por el matemático Alfred Moessner en 1951 (aunque el resultado sería demostrado por Oskar Perrone al año siguiente), consiste en un algoritmo que nos permite construir, o quizás sea más correcto decir que nos permite recuperar, las sucesiones de potencias de números naturales (como por ejemplo, la sucesión de los cuadrados, 1, 4, 9, 16, 25,…) a partir de la sencilla sucesión de los números naturales (1, 2, 3, 4, 5,…).

Al leer este resultado me ha venido a la cabeza el eterno debate de si las matemáticas se inventan o se descubren. Apasionante debate, independientemente de la postura que tenga cada uno en el mismo. Y me lo ha recordado el hecho de que el algoritmo en sí mismo, como se verá a continuación, es de lo más artificioso, por lo que sería claramente un ejemplo de invención humana dentro de las matemáticas. Sin embargo, cuando acabamos de entender el resultado (y más aún si seguimos leyendo algunas de sus generalizaciones), nos queda la sensación de que todo encaja perfectamente, como si el resultado realmente ya estuviese ahí y el matemático simplemente lo hubiese descubierto. Este es, sin lugar a dudas,  un ejemplo de “poesía matemática”, que no solamente nos cautiva por la belleza del mismo, sino que lo podemos sentir con nuestro cuerpo (ya se nos ericen los pelos de la piel o sintamos un hormigueo en el estómago), y como decía mi amigo Francisco González (autor de Esperando a Gödel, Nivola, 2011) esa es la esencia de la poesía.

Pero vayamos con el método de Moessner. Empezamos con la sucesión de los números naturales (1, 2, 3, 4, 5, 6,…), tachamos uno de cada dos números y nos quedamos con la sucesión de sumas acumulativas de los números no tachados (así, 4 = 1 + 3, 9 = 4 + 5 = 1 + 3 + 5, 16 = 9 + 7 = 1 + 3 + 5 +7,… como se muestra en la imagen), que resulta ser la sucesión de cuadrados de los números (1², 2², 3², 4²,…).

Pero el método no termina aquí, y nos va a permitir obtener también la sucesión de los cubos. De nuevo se empieza con la sucesión de los números naturales, pero ahora se tacha uno de cada tres números y se escribe debajo la sucesión de sumas acumulativas de los números no tachados (podéis seguir el razonamiento en la siguiente imagen). Ahora en esa sucesión se tacha el último número de cada bloque –o lo que es lo mismo, uno de cada dos números de la sucesión que se acaba de escribir-, y de nuevo nos quedamos con la sucesión de sumas acumulativas de los números no tachados, que resulta ser la sucesión de cubos.

Siguiendo la misma técnica, pero empezando por tachar uno de cada cuatro números, se obtiene la sucesión de potencias cuartas de los números naturales, como se ve en la siguiente imagen.

Y así podríamos seguir el procedimiento e iríamos obteniendo las sucesiones de potencias quintas, sextas,… es decir, las sucesiones de potencias de cualquier orden. Por lo tanto, se puede enunciar el Teorema de Moessner general de la siguiente forma: dado un número n, mayor que 1, se genera una primera sucesión al tachar uno de cada n elementos en la sucesión de los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6,… Para generar la segunda sucesión se realizan las sumas acumulativas de los números no tachados, y entonces se tacha uno de cada (n – 1) elementos de la sucesión. Y se continúa así hasta que se tache uno de cada dos elementos de la correspondiente sucesión. Entonces, la sucesión de las sumas acumulativas de los números no tachados de la última sucesión que ha quedado, es precisamente la sucesión de las potencias n-ésimas de los números naturales, es decir, 1ⁿ, 2ⁿ, 3ⁿ, 4ⁿ, etc.

Sin embargo, este tipo de construcción se puede aplicar a situaciones más generales aún. Por ejemplo, qué ocurriría en la construcción de Moessner si en lugar de mantener fija la distancia entre los números tachados (uno de cada n números), se fuese incrementando dicha distancia. Un primer caso podría ser que se incremente en una posición la distancia anterior entre los números tachados. Es decir, dada la sucesión de los números naturales, se tacha el primer número (1) –y además lo reservamos-, luego se tacha el tercer número (1 + 2), después el sexto (1 + 2 + 3), a continuación el décimo (1 + 2 + 3 + 4), y se continua de esta forma (por cierto, que estamos tachando los llamados números triangulares*). Lo que ocurre en este caso particular si se continua con el procedimiento similar al de Moessner es que ahora nos quedará destacada (a partir de los números que hemos ido reservando porque estaban en la primera posición de cada sucesión intermedia, como se muestra en la imagen) la sucesión de los números factoriales, n! = 1 ´ 2 ´ 3 ´ … ´ (n – 1)  ´ n.

Es decir, 1! = 1, 2! = 1 ´ 2 = 2, 3! = 1 ´ 2 ´ 3 = 6, 4! = 1 ´ 2 ´ 3 ´ 4 = 24, 5! = 1 ´ 2 ´ 3 ´ 4 ´ 5 = 120, etc. ¿No es un resultado interesante y de gran belleza? Espero que a vosotros también os lo haya parecido…

En otra ocasión hablaremos de lo interesantes que son los números factoriales, pero hoy os voy a dejar una obra de la serie 100! de la artista norteamericana Kathryn Arnold, en concreto 100! (100 factorial) The Silver Lining (2012), en el que la artista pretende acercarse al concepto de infinito. No en vano, el número 100! factorial (es decir, 1 ´ 2 ´ 3 ´ … ´ 99  ´ 100) es un número muy grande, de 158 dígitos, aproximadamente 93.326.215 ´ 10¹⁵⁰.

* Nota: Los números triangulares son aquellos números que son iguales al número de objetos (o cálculos) que tiene un triángulo equilátero como los que aparecen en la imagen. Es decir, en la primera fila hay un objeto y cada fila tiene un objeto más que la fila anterior. Por lo tanto, cada número triangular es la suma de los primeros números naturales, 1, 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 3 = 6, 1 + 2 + 3 + 4 = 10, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21, etc.

El artista conceptual norteamericano Mel Bochner ha utilizado los números triangulares, y también los cuadrados, en algunas de sus obras, como por ejemplo en Triangular and Square Numbers (1972).

Bibliografía:

1- John H. Conway, Richard K. Guy, The book of numbers, Springer-Verlag, 1996.

2- Dexter Kozen, Alexandra Silva, On Moessner’s Theorem, The American Mathematical Monthly, vol. 120, n. 2 (2013), 131-139.

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Sobre el autor: Esta anotación ha sido realizada por Raúl Ibáñez, profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica

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La filosofía como actividad de alto riesgo

Recientemente un amigo, que lee este Cuaderno, me comentaba que yo debía dejar de hablar tanto de filosofías y dedicarme a la ciencia en sí y a su historia. Mi primera reacción fue preguntarle si esta recomendación era porque mis escritos, que tampoco pretenden ser más que una incitación, no le parecían interesantes. Su respuesta consiguió sorprenderme: 

• No, amigo mío, es que temo por tu seguridad; los que se dedican a la filosofía acaban siempre mal.
• Y, ¿cómo es eso? ¿Es acaso la filosofía una profesión de riesgo?

Y aquí mi amigo, que goza de una memoria privilegiada y que ha estudiado historia de la filosofía desde que yo recuerde y que siempre ha dejado muy claro que él es ante todo funcionario de Hacienda, pidió otra cerveza y desgranó lo siguiente: 

• Juzga tu mismo. El primer filósofo importante del que tenemos noticia cierta, Sócrates, fue condenado a muerte por el gobierno de Atenas por, entre otras cosas, corromper a la juventud. Como él mismo se administró la cicuta desoyendo todos los planes, algunos muy factibles, para huir y librarse del castigo, podemos considerar que se suicidó allá por el 399 antes de la era común (a.e.c.). Pero ese no es más que un ejemplo de una larga tradición que ilustra perfectamente los perjuicios que para la consideración de la propia vida tiene el filosofar. Así, en las brumas de la leyenda tenemos a Empédocles que saltó al Etna en el 435 a.e.c. Isócrates se dejó morir de hambre en el 338 a.e.c. Zenón de Citio se rompió un dedo del pie, y eso no tendría nada de extraño sino fuera porque su reacción, como buen estoico, fue contener la respiración hasta que murió en el 262 a.e.c. poco más o menos. En el 52 a.e.c. Lucrecio tomó una poción de amor (toda natural, como hacían los antiguos) y le produjo tal efecto que en su locura acabó suicidándose. Ya que estamos con los romanos no podemos olvidar a Séneca, que prefirió suicidarse tras caer en desgracia con Nerón en el 65 e.c. Y así podría seguir hasta Año Nuevo.
• Va hombre, esos son sólo unos cuantos ejemplos de la antigüedad…
• ¡Antigüedad! Bueno, pues como eres tan aficionado al XVII retomaremos la historia por ahí e iremos recortando por no hacerla muy larga. En 1640 Uriel da Costa, tras recibir una soberana paliza de un grupo religioso al que presuntamente había ofendido diciendo lo que pensaba, se fue a su casa y se pegó un tiro. William Jevons prefirió ahogarse en su bañera en 1882. Otto Weininger también se pegó un tiro (1903), Ludwig Boltzmann se ahorcó (1906), y Paul Lafargue llegó a un acuerdo de suicidio con su esposa, Laura Marx, en 1911. Y seguimos, Stanislaw Witkiewicz también llegó a un acuerdo de suicidio usando pastillas con una amiga tras la invasión soviética de Polonia en 1939, aunque ella (no filósofa) sobrevivió. Walter Benjamin viendo que no podría escapar de los nazis se suicidó en la frontera franco-española en 1940. Simone Weil se dejó morir de hambre en 1943 no se sabe muy bien si en solidaridad con las víctimas de la guerra o por haber leído a Schopenhauer. En el otro bando, la filosofía también hacía estragos: Ernst Bergmann se suicidó cuando los aliados entraron en Leipzig en 1945.
• Pero, ¿ese no era el que decía que Hitler era el mesías…?
• No me interrumpas, que esto sigue. En 1954 Alan Turing murió a lo Blancanieves mordiendo una manzana envenenada.
• Ni me parece bien la insinuación, ni está claro que fuese un suicidio…
• El caso es que estaba vivo, sano, no era viejo, había flirteado con la filosofía y se murió, ¿no? Pues eso. Bueno, sigo. Tu amigo Kurt Gödel, el platónico, también se dejó morir de hambre por temor a que lo envenenaran en 1978. Evald Ilyenkov también se suicidó en 1979, el mismo año en que Nicos Poulantzas se tiraba por la ventana de un piso veinte del edificio en el que vivía. En 1983 Arthur Koestler llegaba a un acuerdo de suicidio con pastillas con su compañera, y a ella debía gustarle la filosofía más de la cuenta, porque murieron los dos. En 1994 David Stove se ahorcó, Sarah Kofman esperó al cumpleaños de Nietzsche para hacer lo propio y Guy Debord prefirió pegarse un tiro. Y por no hacerlo demasiado largo nombraré a uno que tienes leído, Gilles Deleuze, que se tiró por la ventana al año siguiente. ¡Ah, bueno! Se me olvidaba otro pacto de suicidio, el de André Gorz y su mujer, que se pusieron inyecciones letales en 2007.
• ¡Qué barbaridad!
• Y eso no es todo. El quitarse la vida uno mismo es sólo uno de los efectos de la filosofía. El otro es que te quieran matar, ya sean gobiernos, turbamultas o particulares.
• ¡Pero eso cómo va a ser!
• ¿Que no? Te haré una lista breve. Empecemos con Hipatia, a la que mató una turbamulta de cristianos en el 415. En el 526 Teodorico mandó estrangular a Boecio, a Sigerio de Brabante lo apuñaló su secretario con una pluma sobre el 1277, aunque si hubiésemos de creer a Dante, realmente se suicidó. En 1415 el cristianísimo y catolicísimo Consejo de Constanza mandó quemar vivo a Jan Hus. A Tomás Moro le cortó la cabeza una orden del anglicano reciente Enrique VIII en 1535. El capitán de la prisión otomana en la que estaba prisionero Girolamo Maggi ordenó estrangularle en 1572, el mismo año en que Pierre de la Ramée estaba en París el día de San Bartolomé, y como su filosofía le había hecho hacerse protestante en la católica Francia, fue asesinado junto a de miles de otros protestantes. Que a Giordano Bruno en 1600 y a Lucilio Vanini en 1619 los mandó quemar la Inquisición, ya lo sabes. A Algernon Sidney lo mandó ejecutar Carlos II de Inglaterra por traición en 1683. El Marqués de Condorcet murió misteriosamente en prisión en 1794.
• Es que estás considerando unos tiempos…
• Nada, nada, siglo XX para el caballero. A Moritz Schlick lo asesinó un estudiante perturbado en 1936. Gustav Shpet fue ejecutado en 1937 por actividades antisoviéticas, el mismo año en que Antonio Gramsci moría en la prisión en la que lo mantenía Mussolini. A León Trotsky lo mandó matar Stalin en 1940. En 1941 los nazis mataron a Kurt Grellin, en 1944 los partisanos comunistas mataron a Giovanni Gentile y en 1945 los nazis colgaron a Dietrich Bonhoeffer. También en 1945 moría en prisión Miki Kiyoshi, encarcelado porque su ética le había llevado a ayudar a un amigo a escapar. A Mohandas Gandhi lo mataron de un tiro en 1948. Y te dejo para el final un matemático metido a filósofo: a Richard Montague lo estrangularon para robarle en 1971. ¿Qué?¿Qué me dices?
• Curioso, muy curioso, sí.
• ¿Es peligrosa o no es peligrosa la filosofía?
• No más que otras actividades intelectuales.
• Pero, ¿qué me dices de todos estos ejemplos?
• Pues que son una muestra de lo que pasa cuando se tiene una memoria como la tuya y es lo mismo que explica que la gente use menos un medio de locomoción después de un accidente grave, por ejemplo.
• Ya estás con tus cosas, ¿de qué me estás hablando?
• Vamos a ver, ¿tú sabes lo que es la heurística de la disponibilidad?

Nota1: la recopilación de las causas de la muerte de los filósofos es una tradición bien asentada. Véase a título de ejemplo esta página de D.H. Mellor, profesor emérito de filosofía de la Universidad de Cambridge.

Nota2: Si te ha gustado esta anotación puedes contribuir a difundirla votando aquí. Gracias.

Sobre el autor: César Tomé López es divulgador científico y editor de Mapping Ignorance

La variedad de residuos madereros y la riqueza ecológica de los hayedos

 

En los bosques gestionados tradicionalmente escasea la madera muerta, ya que se tiende a recoger las ramas y los árboles caídos. Dicha madera, que, de haberla, debería estar descomponiéndose, es el hábitat de muchos seres vivos, como el de los hongos lignícolas. Dichos hongos son capaces de descomponer la madera muerta y transformar la materia orgánica en inorgánica. Por tanto, la retirada de la madera muerta de los bosques produce un daño ecológico a estos. Nerea Abrego Antia e Isabel Salcedo Larralde, biólogas del Departamento de Biología Vegetal y Ecología de la UPV/EHU, han cuantificado recientemente en diversos hayedos de Navarra dicha influencia en las poblaciones de hongos que viven de la madera muerta. La principal conclusión del estudio es que la silvicultura y la gestión clásica de los bosques perjudican a la comunidad de hongos saproxílicos. Es más, los investigadores han descubierto que en los bosques explotados desaparecen varias especies de hongos y, en algunos casos, incluso familias enteras.

La conclusión de la investigación es bien clara: la retirada de restos de madera muerta perjudica a las poblaciones de hongos lignícolas o saproxílicos. No obstante, Isabel Salcedo, directora de la investigación, matiza: «Se ve todo muy claro, pero no se asume tan fácilmente». «La prehipótesis podría ser que, como se pierde la materia básica, afectará directamente al medio. Pero el objetivo de nuestros trabajos es demostrarlo. En la silvicultura, hace poco que han empezado a darse cuenta de dicho fenómeno, mientras que en Europa se empezó a demostrar a nivel científico hace aproximadamente diez años». El trabajo de los investigadores de la UPV/EHU se ha centrado en la explotación tradicional de diversos hayedos, y el resultado ha sido publicado en la revista especializada Forest Ecology and Management.

Se han analizado muestras de dieciséis zonas, de las cuales ocho se explotan y otras ocho no. Tras recoger las muestras, se han clasificado en función de un criterio estándar que utilizan los micólogos de este campo, para que se puedan repetir las investigaciones. «La primera variable principal para realizar las clasificaciones ha sido el tamaño de los restos de madera de los residuos. Se clasifican en tres tamaños, del más grande al más pequeño», explica Salcedo. «Normalmente, no se analizan los residuos más pequeños de dicha clasificación. Por otra parte, muchos hongos deben identificarse con el microscopio, aunque también haya especies conocidas de gran tamaño, como el yesquero Fomes fomentarius. Pero es más difícil recoger e identificar las muestras del resto, y lleva más tiempo».

Tras la clasificación de la madera en función del tamaño, el siguiente criterio es el nivel de descomposición. Para cada tamaño se establecen tres niveles de descomposición: los recién caídos, los que han empezado a descomponerse y los que están totalmente descompuestos. «Se podía haber hecho una clasificación más exacta, pero hemos visto que los niveles de descomposición se ajustaban bien en los tres grupos».

Resultan así nueve grupos en los que clasificar los residuos madereros encontrados en cada hayedo, tras lo que se han identificado las especies de hongos que había en cada uno de ellos, esto es, la comunidad de hongos que hay, por decirlo gráficamente, en cada ramita. En la medida de lo posible, se establece también la «cantidad» de cada especie, aunque no sea una tarea fácil. Como señala Salcedo, este último parámetro es difícil de aplicar.

El resto de investigaciones europeas se han centrado en residuos madereros de gran tamaño, por lo que el volumen de madera muerta de los bosques parecía la variable a tener en cuenta a la hora de conservarlos. Sin embargo, según la investigación de Salcedo y Abrego, el factor que más influye en la diversidad de los hongos saproxílicos es la diversidad de los residuos madereros, no el volumen de madera, es decir, que los 9 grupos de residuos aparezcan el máximo número de veces posible. «Dicha conclusión es un resultado muy a tener en cuenta en la gestión de los bosques», recalca Salcedo.

Referencia:

 

Abrego & Salcedo (2013). Variety of woody debris as the factor influencing wood-inhabiting fungal richness and assemblages: Is it a question of quantity or quality?. Forest Ecology and Management 291: 377-385.

 

 

 

Edición realizada por César Tomé López a partir de materiales suministrados por UPV/EHU Komunikazioa