En defensa de la fuerza centrífuga

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Conozco pocos temas capaces de generar una polémica tan viva como el relativo a la fuerza centrífuga. Defender su uso es un deporte de riesgo comparable a gritar “Casillas blaugrana” en la cafetería de la esquina. El mero hecho de reconocer su existencia es algo que con gusto negarían algunos de mis compañeros, y otros solamente la aceptarían si pudiesen destriparla, humillarla y negarla todo derecho. La fuerza centrífuga es un simpapeles, un ilegal, un indio en la corte de los Reyes Católicos, un salvajes sin alma inmortal; un elemento de la Mecánica que a duras penas se tolera y que debería tener más derecho que el de estarnos agradecido porque no le peguemos todos los días con un bate de béisbol.

Tan agrio racismo contra la fuerza centrífuga puede estar relacionada con sus oscuros orígenes. Todos sabemos, o creemos saber, lo que es una fuerza. Antiguamente nos la definían como todo aquello capaz de provocar bien una deformación, bien un cambio en la velocidad. Este último aspecto venía de la mano de la famosa fórmula F=ma que conocemos como Segunda Ley de Newton. Conocidos todos los agentes que actúan sobre una partícula, podemos conocer la aceleración del cuerpo, su velocidad, y también la posición en cualquier momento.

Pero, ignorado por muchos, está el hecho de que la Segunda y Tercera Leyes de Newton, como las leyes de la Robótica de Asimov, descansan sobre una Primera Ley de  obligado cumplimiento. Esa ley nos dicta en qué condiciones son válidas las demás leyes, y si no se cumple pasarán cosas raras.

Por ejemplo, imagine usted que colgamos un péndulo dentro del AVE. Estamos en reposo y el hilo cuelga verticalmente. Cuando el tren acelere, un observador situado en la estación constatará una composición de dos fuerzas (la tensión de la cuerda y la gravedad) cuyo resultado es una aceleración en el sentido de movimiento, que es la responsable de que el péndulo se mueva hacia adelante con el tren.

Pero para un observador en el propio AVE, algo falla. Él observa esas dos mismas fuerzas, y es incapaz de encontrar más. El resultado lógico es este: el péndulo está acelerado. Sin embargo, mira el péndulo y descubre que no se mueve. Es como si una tercera fuerza de origen desconocido estuviese actuando para, junto con las otras dos, mantener el péndulo en reposo. Esta tercera fuerza es un ejemplo de lo que se denomina fuerza ficticia. Yo prefiero el término de fuerza no inercial.

La cuestión que subyace a la existencia de estas fuerzas es la siguiente pregunta: ¿cómo sabe usted que un cuerpo está en movimiento? Menuda tontería, me dirá usted, veo que el cuerpo se ha movido porque cambia de posición. De acuerdo, ¿pero cómo medimos la posición? Respecto a otros cuerpos, por supuesto. Nos inventamos los llamados sistemas de referencia, que nos sirven para medir la posición de los cuerpos en cualquier momento.

Ningún sistema de referencia es absoluto, así que puedo escoger el que yo quiera. Si yo viajo en el AVE y lo escojo como sistema de referencia, estoy en mi derecho, y si afirmo que yo, sentado en mi asiento, estoy en reposo y el mundo entero se mueve a mi alrededor, provocaré la risa general pero técnicamente estaré en lo cierto. Y no siempre ha sido cosa de risa. Nos hemos pasado miles de años pensando que la Tierra está inmóvil en el Cosmos y es el resto del Universo el que se mueve. Incluso hoy hablamos de que el sol sale o se pone.

Cuando nos enseñan eso de F=ma, nos añaden, casi como de pasada, que solamente sirve para sistemas de referencia “de buen comportamiento,” como si se tratase de buenos chicos que se merecen una estrellita dorada. En realidad, ese “buen comportamiento” viene dictado por la Primera Ley de Newton. La regla es: si el sistema de referencia elegido es tal que, al no aplicar fuerzas a un cuerpo, este continúa en reposo (o en movimiento uniforme), entonces ese sistema es de los de “buen comportamiento,” o dicho más correctamente: es un sistema de referencia inercial. Se llama así porque cumple la ley de la inercia, a saber: que si dejas en paz al cuerpo, este se queda como estaba.

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Para comprender los efectos de un sistema de referencia no inercial, haga la siguiente prueba la próxima vez que viaje en avión: póngase los patines y quédese de pie en el pasillo (tendrá usted que sobornar a la azafata para que le permita hacer eso en violación de las normas de seguridad aérea, pero ese es su problema). Cuando el avión se lanza por la pista para ganar velocidad, verá como le parece que algo tira de usted hacia atrás; y no es que lo parezca, es que realmente lo notará. Ya lo creo que lo notará. Los chicos del puesto de la Cruz Roja se van a echar unas buenas risas a su costa.

El hecho de que un sistema de referencia no sea inercial (es decir, que no cumpla la Primera Ley de Newton) complica las cosas, porque cuando medimos el movimiento de un cuerpo no sabemos si se debe a que el cuerpo se mueve, o a que lo hace el sistema de referencia, o a ambas causas a la vez. Lo más sencillo sería quedarse en esos sistemas de referencia inerciales que se portan tan bien, así tendremos asegurado que las velocidades y aceleraciones que medimos se deben al movimiento del cuerpo.

Pero hay veces en que no tenemos un sistema de referencia a mano. En primera aproximación, podríamos pensar en usar el sistema de referencia de laboratorio; es decir, las paredes, suelo y techo. No parece que se mueve, pero lo cierto es que está anclado a un planeta en rotación. Toda la Tierra es un sistema de referencia no inercial. Mal empezamos. Y por supuesto, tenemos que atender el clamor de todos aquellos que se encuentran más a gusto en sistemas de referencia en movimiento. ¿Acaso no tenemos derecho a hacer experimentos de Física en un avión, un AVE, un submarino, un camión? ¡Basta de discriminación contra los sistemas no inerciales! Le sorprendería a usted la utilidad que puede tener un sistema de referencia no inercial. Los experimentos de colisiones en física de partículas, por ejemplo, son más sencillos de calcular y resultan más intuitivos de entender cuando lo consideramos en un sistema de referencia que se mueva con su centro de masas, un sistema no inercial por lo general.

Para contentar a esa minoría oprimida amante de los sistemas de referencia no inerciales (que también tiene sus derechos, oiga), lo que hacemos es modificar la Segunda Ley de Newton y convertirla en algo así como F+Fni=ma, donde Fni son las fuerzas no inerciales. Son fuerzas que realmente no tienen un agente causante, pero que actúan como si lo tuviesen. En el caso del viajero con patines en el avión, esa Fni es algo que no sabe qué es o de dónde viene, pero parece como si tirase de él hacia atrás. Si sumamos estas fuerzas no inerciales a las fuerzas inerciales habituales, podemos seguir usando la Segunda Ley de Newton. Esa es la esencia de las fuerzas no inerciales, y por eso son tan útiles.

La fuerza centrífuga es una de esas fuerzas no inerciales. Es la que notamos cuando tomamos una curva con el coche. Un observador situado en el arcén notará que hay una fuerza centrípeta que tira del vehículo hacia el interior de la curva y lo hace girar, transmitiendo el efecto al pasajero. Pero las cosas se ven distintas en el interior. El viajero lo que nota es que está tan tranquilo sentado en el asiento del coche, cuando de repente un ente invisible le empuja hacia fuera de la curva. Son dos interpretaciones del mismo fenómeno, y en principio son ambas válidas. La diferencia es que la fuerza centrípeta está causada por un fenómeno físico real (las fuerzas de rozamiento entre las ruedas y el suelo), en tanto que la fuerza centrífuga parece salida de la nada y no tener un origen tangible.

Y aquí está la causa del racismo contra las fuerzas inerciales. Quienes abominan de ella se ensañan con la ausencia de mecanismos generadores. Para ellos, las fuerzas de verdad, las de siempre (las de toda la vida de Dios, que diría mi abuela) son las que tienen ese mecanismo generador: la gravedad, los campos magnéticos, la tensión de un muelle. Las otras son meros artificios para cuadrar las cuentas, fantasmas matemáticos que ni siquiera merecen llevar el apelativo de fuerzas.

Si bien entiendo esa idea, no estoy realmente de acuerdo con ella. Que una fuerza no inercial no tenga causa generadora real no la hace menos auténtica en sus efectos. El movimiento de la Tierra al girar sobre su eje hace que el aire, al moverse, adopte formas giratorias. Los huracanes, los ciclones, los tornados, todo eso está modelado por la llamada fuerza de Coriolis, que es un tipo de fuerza no inercial. Vaya a Nueva Orleans y dígale a sus habitantes que no es para tanto, que a fin de cuentas Katrina estaba formado por fuerzas ficticias, y luego corra como las balas. Más rápido que las balas. Literalmente.

Sin la fuerza de Coriolis, los péndulos de Foucault no serían nada más que aburridos trozos de acero que oscilan siempre en el mismo plano, y Umberto Eco hubiera tenido que buscar otro nombre mejor para su novela. La Fuerza de Coriolis modeló incluso un episodio de los Simpson en el que la familia amarilla viaja a Australia. Homer se emociona y llora lágrimas de patriotismo al ver que, gracias a un complicado dispositivo, el agua del retrete de la embajada americana gira igual que en casa; aunque no se debería emocionar, porque tampoco es para tanto.

Las fuerzas no inerciales existen, y tanto es así que llegan a provocar incluso la muerte. Las víctimas de los accidentes de tráfico bien lo saben. Y las del accidente del AVE de Santiago. Actúan de forma habitual, y sus efectos nos rodean. Pero alguna gente piensa (parafraseando a cierto personaje público) que meter términos adicionales en la Segunda Ley de Newton es algo respetable pero que no lo llamen fuerza.

Mi viejo libro de Física de Ortega habla de la fuerza como “el agente capaz de cambiar el estado de movimiento de los cuerpos,” aunque luego se desvive en demostrar que no es eso y que hay que usar fuerzas inerciales para definirlo bien. Paul Tipler, en su libro de Física (que considero uno de los mejores del ramo) es aún más radical en su definición. Para él, una fuerza es una “influencia externa sobre un cuerpo que causa su aceleración respecto a un sistema de referencia inercial.” Según su estricta y encorsetada definición, las “influencias” no inerciales ni siquiera alcanzan la naturaleza de fuerzas, y de hecho su libro no contiene ningún ejemplo de sus efectos: ni Coriolis, ni centrifugadoras, nada.

Debo reconocer, en honor a la verdad, que Tipler tiene algo de razón. La Primera Ley de Newton impone restricciones al uso de la Segunda, así que cuando escribimos F=ma, esas F deben ser por definición fuerzas inerciales. Lo que realmente dice la Segunda Ley de Newton es “en un sistema de referencia inercial, F=ma.” Las fuerzas no inerciales, por definición, no tendrían cabida aquí, a menos que las califiquemos con algún eufemismo extraño como “influencias no inerciales que se parecen a una fuerza pero no se engañe, no lo son.”

Personalmente, me desazona este intento de arrancar por decreto el estatus de fuerza a las “influencias” no inerciales. Me recuerdan al Abuelo Simpson cuando dijo aquello de “¡Antes muerto, enterrado y agusanado que reconocer el estado de Missouri!” Tal vez nos estemos talibanizando demasiado en este asunto. Si una fuerza es lo que encaja en la Segunda Ley de Newton para explicar el movimiento de los cuerpos, pues no veo el problema en flexibilizar el concepto de fuerza para poder equiparar fuerzas “reales” (sea lo que sea que quiera decir ese concepto) y fuerzas “ficticias.” Las primeras tienen un origen físico real, y las segundas son consecuencia del movimiento del sistema de referencia. Ambos tipos de fuerzas varían la velocidad de un cuerpo respecto a un sistema de referencia; ambas se miden en newtons; ambas tienen cabida en la Segunda Ley de Newton para describir cómodamente el movimiento de los cuerpos. A todos los efectos viene a ser lo mismo.

El término “fuerza centrífuga,” pese a quien pese, es más conocido que el de “fuerza centrípeta” por el ciudadano medio. Las lavadoras tienen opción de centrifugado para secar mejor la ropa: Los laboratorios tienen aparatitos de esos que, al dar vueltas, producen el mismo efecto en las soluciones, y no les llaman “centripetadoras” precisamente. Si algún día lo cambian, no pasará nada. Y si un día me dicen que las fuerzas no inerciales no deben llamarse fuerzas, pues seguiremos siendo amigos. Por mi parte, considero más importante comprender bien el concepto de fuerzas no inerciales y su significado que perder el tiempo en el eterno debate de las peras y las manzanas. Tengo mejores cosas que hacer, puede usted creerme.

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Este post ha sido realizado por Arturo Quirantes (@elprofedefisica) y es una colaboración de Naukas con la Cátedra de Cultura Científica de la UPV/EHU.

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El misterio del pez eléctrico monofásico*

El equipo de investigadores coordinado por John Sullivan, de la Universidad de Cornell, ha tenido un doble golpe de suerte: no solo han descubierto dos nuevas especies de peces eléctricos en el río Amazonas, sino que ha encontrado una sutil diferencia entre ellas que puede ser reveladora para el estudio de estos animales.

A ojos de un no especialista, las dos especies resultan casi indistinguibles. De hecho, los propios científicos pensaron que se trataba del mismo pez. La sutil diferencia morfológica entre ambos es que Brachyhypopomus walteri tiene una cola un poco más fina y larga, mientras que Brachyhypopomus bennetti tiene la cola algo más robusta. Pero la variación más importante está en la forma en que emiten señales eléctricas: el primer pez emite una corriente “monofásica” (la diferencia de potencial sólo adquiere valores positivos) y el segundo, “bifásica” (la diferencia de potencial adquiere valores positivos y negativos).

Ambas especies pertenecen al género Brachyhypopomus cuyos miembros se distinguen por comunicarse mediante señales eléctricas y se extienden ampliamente por los ríos de Sudamérica. Al contrario que la conocida anguila eléctrica, estos peces no producen grandes descargas que aturden a sus presas, sino que disponen de un pequeño filamento en su cola que emite apenas unos cientos de milivoltios, suficientes para orientarse en la oscuridad y para que otros peces capten la señal con las células sensibles de su piel y se puedan comunicar. Recientemente, un grupo de investigadores descubrió que los machos ocupan una parte del espacio radioeléctrico para no confundir a las hembras de otras especies.

Brachyhypopomus bennetti

Brachyhypopomus bennetti

Al observar los órganos eléctricos de ambos peces, los científicos se dieron cuenta de que eran dos especies distintas y de que Brachyhypopomus bennetti es, además, muy especial. La mayoría de los peces de este género, incluido su compañero Brachyhypopomus walteri, producen las señales eléctricas con dos fases (se alternan dos tensiones eléctricas). Encontrar un pez con electricidad monofásica es muy poco frecuente, y casi la única especie que utiliza el mismo sistema es la temida anguila eléctrica. Por eso los científicos creen que el factor disuasorio (espantar a las presas que confunden esta señal con las de una anguila) puede haber tenido un papel evolutivo en la aparición de esta característica.

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La otra posible explicación a esta particularidad del pez “monofásico” está en una pequeña ventaja de su sistema: a diferencia de lo que ocurre con las especies bifásicas, el sistema monofásico sigue funcionando correctamente cuando un depredador les muerde o les arranca la cola, algo que es bastante frecuente en su hábitat. “Cualquier cambio en la emisión eléctrica”, asegura Sullivan, “impide la ‘electrocepción’ y la comunicación, de modo que la opción monofásica puede haberse visto favorecida por la selección natural de las especies que sufren muchos daños en la cola”. Ambas hipótesis- la del mimetismo con las anguilas y la adaptación por supervivencia- pueden estar teniendo lugar a la vez, aventuran los científicos, pero necesitarán hacer más estudios que les permita resolver del todo este pequeño misterio de los peces “monofásicos” del Amazonas.

*Nota del editor: Los términos “monofásico” y “bifásico” en esta anotación deben entenderse en el sentido electrofisiológico y no en el de ingeniería eléctrica. Si bien ambos términos se explica cómo deben entenderse en el texto y su uso está generalizado en este sentido en electrofisiología, pueden llevar a confusión. Las gráficas aclaran el significado.

Referencia:

Sullivan et al (2013) Two new species and a new subgenus of toothed Brachyhypopomus electric knifefishes (Gymnotiformes, Hypopomidae) from the central Amazon and considerations pertaining to the evolution of a monophasic electric organ discharge ZooKeys, 327, 1-34. DOI: 10.3897/zookeys.327.5427 

Sobre el autor: Antonio Martínez Ron es periodista

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El teorema de la pizza

Es una obviedad decir que los matemáticos y matemáticas de todo el mundo también comemos pizza, pero no lo es tanto mencionar que en ocasiones somos capaces de relacionar las pizzas con las matemáticas, más allá de la simple referencia a las fracciones.

Una primera relación trivial es que como las pizzas son circulares y conocemos cuál es el área de un círculo –exactamente π r2, si el radio de la pizza es r–, aunque para esto no hace falta ser matemático, podemos saber cuánto dinero nos cuesta cada unidad de área, por ejemplo, cada cm2, de pizza, dependiendo de las características y precio de la misma. Y por lo tanto, es posible que nos animemos a discutir de sencillas cuestiones como si sale más rentable comprar una pizza grande o dos medianas.

Pero esta cuestión de matemática cotidiana no es el objetivo de esta anotación en el Cuaderno, sino que estamos interesados en una cuestión relacionada con el reparto de los trozos de una pizza entre dos comensales. Me explico.

Imaginemos dos personas que han pedido una pizza, por ejemplo, mediana. Cuando les entreguen la pizza, esta estará cortada en ocho trozos y en condiciones ideales, es decir, que los cuatro cortes pasen por el centro y estén igualmente espaciados, lo que significa que están formando un ángulo de 45º entre cada dos de ellos, estos serán completamente iguales (como en la imagen). En tal caso, será fácil repartir la pizza, cada comensal simplemente tendrá que coger cuatro trozos cualesquiera, puesto que cada trozo tiene la misma superficie que el resto.

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Pero lo normal es que esos cortes realizados en la pizzería no sean tan perfectos. Supongamos que aún así siguen una cierta regularidad, que los cuatro cortes pasen por un punto común, aunque no sea el centro del círculo que forma la pizza, y que estén igualmente espaciados, es decir, formando un ángulo de 45º entre cada dos de los cortes consecutivos (un ejemplo de esta situación de muestra en la siguiente imagen).

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La cuestión ahora es si es posible repartir la pizza, sin realizar más cortes, de forma que cada una de las dos personas reciba la misma cantidad de la misma. Mirando a la imagen de la pizza cortada de esta forma no da la impresión de que sea posible repartir los trozos de manera equitativa, sin embargo, el conocido como Teorema de la pizza nos dice que sí es posible y además cómo hacerlo.

Teorema de la pizza: Si una pizza es dividida en ocho trozos, obtenidos mediante cuatro cortes que pasan por un punto común y forman un ángulo de 45º entres ellos, entonces la suma de las áreas de los trozos alternos son iguales (grises y blancos en la imagen anterior).

Esta cuestión fue originalmente propuesta por el matemático L. J. Upton en Mathematics Magazine, problema 660, en 1967 [1], y resuelta por Michael Goldberg también en Mathematics Magazine [2]. Este resultado no es matemáticamente complicado, y puede ser entendido por cualquier estudiante de matemáticas.

Larry Carter y Stan Wagon realizaron una demostración visual por medio de disecciones [3] que fue recogida en el libro Proofs without Words II, de Roger B. Nelsen [4] (véase la anotación Pitágoras sin palabras para un breve comentario sobre las demostraciones visuales y algún ejemplo), y que reproducimos aquí. Os dejamos que observéis el diagrama y comprobéis por vosotros mismos que efectivamente los trozos grises y blancos tienen la misma superficie total, viendo que los nuevos trozos más pequeños generados por Carter y Wagon mediante cortes de los anteriores se corresponden dos a dos en superficie.

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El resultado del teorema de la pizza sigue siendo cierto para un número de cortes par mayor que 2, es decir, 4, 6, 8, etc., y por lo tanto, con un número de trozos de pizza mayor que 4 y múltiplo de 4, es decir,  8, 12, 16, etc. Una demostración mediante disecciones para el caso general ha sido dada por Greg Frederickson en 2012 [5].

Sin embargo, para 2 cortes, o un número impar de cortes el resultado no es cierto. Para 2 cortes se comprueba con facilidad. Considérese por ejemplo el siguiente corte.

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Entonces puede razonarse fácilmente que los trozos oscuros ocupan más superficie que los claros. Para ello trazamos dos rectas paralelas a los cortes y que pasen por el centro (diámetros), y una recta más, paralela a uno de los diámetros y que está a la misma distancia de este que el corte paralelo (véase imagen), y nombramos las zonas que se generan como aparece en la imagen (mayúsculas para la zona oscura y minúsculas para la clara). Claramente E = a, F = b y G = e, pero para el resto la zona oscura (A + B + C + D) es mayor que la clara (c+d).

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R. Mabry y P. Deiermann en 1995, dando respuesta al problema planteado por L. Carter, S. Wagon en Mathematics Magazine, problema1457, [6], demostraron que el resultado tampoco era cierto en el caso de un número impar de cortes [7]. El ejemplo que utilizaron fue el siguiente. Consideraron los siguientes tres cortes del tipo anterior sobre una pizza, es decir, que pasan por un punto común P y el ángulo entre cortes consecutivos es siempre el mismo, es decir, 60º, y demostraron que la superficie de los trozos azules es mayor que la de los blancos.

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Para ello, trazaron los ejes coordenados x e y (o lo que es lo mismo, dos diámetros perpendiculares), consideraron el punto P* intersección del eje x con uno de los cortes, y trasladaron los cortes al punto P*. Y consideraron el nuevo corte, en el que, como se ve en el esquema siguiente, los dos grupos de trozos de pizza, rojos y blancos, tienen igual superficie en total.

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Finalmente consideraron los dos esquemas juntos. Entonces, como las zonas rojas y blancas (en el segundo esquema) tienen la misma superficie, y la banda ABCD menos un pequeño triángulo equilátero, que se corresponde con zona azul en el diagrama original, es mayor que la banda A’B’C’D’ menos un pequeño triángulo equilátero, que se corresponde con la zona blanca en el diagrama original, se concluye que en el esquema inicial la zona azul es tiene mayor superficie que la blanca.

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La solución general al problema de la pizza fue dada por R. Mabry y P. Deiermann en 2009 y es la siguiente, que ellos nombran el teorema de la pizza de queso.

Teorema de la pizza de queso [8]: Si O es el centro de la pizza, esta se divide en n cortes a la “manera usual”, generando 2n trozos de pizza que se dividirán en dos familias de n trozos, grises y blancos, alternando uno de cada familia. Entonces,

i) si n > 2 es par o el centro O está en uno de los cortes, la superficie total de las zonas grises y de las zonas blancas es la misma,

ii) si O está en el interior de una zona gris y n≡3 (mod.4), es decir, n es de la forma 4r+3, entonces la superficie de las zonas grises es mayor que la de las blancas,

ii) si O está en el interior de una zona gris y n≡1 (mod.4), es decir, n es de la forma 4s+1, entonces la superficie de las zonas grises es menor que la de las blancas.

Pero Mabry y Deiermann demuestran algunos otros resultados relacionados con el teorema de la pizza de queso en su artículo [8], como por ejemplo, el teorema de la pizza de queso con borde grueso. Hay a personas a las que les gusta las pizzas con el borde grueso, y entonces nos podríamos plantear el problema de si se podría repartir los trozos de pizza de forma que también recibiese cada uno de los dos comensales la misma cantidad del borde grueso de la pizza.

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El resultado demostrado por Mabry y Deiermann es el siguiente.

Teorema de la pizza de queso con borde grueso [8]: Sea un pizza de queso con un borde grueso (de una anchura constante) a la que le hacemos n cortes (mayor que 2) al estilo del teorema de la pizza de queso, con el punto de corte P en la zona del queso, y consideramos los trozos de pizza de nuevo de forma alternada (grises y blancos). Para n impar, los trozos de pizza que den más superficie de queso darán menos superficie de borde, y para n par, la cantidad de pizza y de borde será la misma en ambos repartos de trozos (grises y blancos).

Existen otras generalizaciones de estos estudios, por ejemplo, planteándose el reparto entre más de dos personas o cortando la pizza uniendo el punto P común con 8 puntos de la circunferencia exterior, igualmente espaciados, entre otras.

Pero el definitivo teorema de la pizza es el siguiente. Si consideramos que una pizza no es un círculo, sino un cilindro, entonces el volumen de la pizza, si tiene altura a y radio z, es igual a “pi z z a”.

Diseño de una camiseta utilizando este teorema de la pizza (www.snorgtees.com)

Diseño de una camiseta utilizando este teorema de la pizza (www.snorgtees.com)

(Nota: recordar que el volumen de un cilindro de radio r y altura h es π r2h = π r r h = pi r r h)

Bibliografía:

1- L. J. Upton, Problem 660, Mathematics Magazine 40 (1967), p. 163.

2- L. J. Upton, Problem 660 (Solution by Michael Goldberg), Mathematics Magazine 41 (1968), p. 46.

3- L. Carter, S. Wagon, Proof without Words: Fair Allocation of a Pizza, Mathematics Magazine 67 (1994), p. 267.

4- R. B. Nelsen, Proofs without words II, MAA, 2000.

5- G. Frederickson, The Proof Is in the Pizza, Mathematics Magazine 85 (2012), p. 26–33.

6- L. Carter, S. Wagon, Problem 1457, Mathematics Magazine 67 (1994), p. 304.

7- R. Mabry, P. Deiermann, The center of a sliced pizza, Mathematics Magazine 68 (1995), p. 312-315.

8- R. Mabry, P. Deiermann, Of Cheese and Crust: A Proof of the Pizza Conjecture and Other Tasty Results, American Mathematical Monthly 116 (2009), p. 423–438 .

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Sobre el autor:  Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica

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