El poder de una idea sencilla

Al contrario de lo que la mayoría de la gente cree, las matemáticas no se ocupan solamente de cálculos tediosos y complicados. La práctica de las matemáticas consiste, fundamentalmente, en pensar y desarrollar ideas. Estas ideas, mucho más a menudo de lo que imagina el lego, son realmente sencillas, y no requieren de ninguna formación previa para ser comprendidas e incluso aplicadas. Curiosamente, las ideas más sencillas de la historia de las matemáticas han dado frutos enormes.

En el presente artículo resolveremos un problema aparentemente colosal simplemente pensando, y la única operación matemática aparecerá en todo el texto será una simple resta.

Para poder hacerlo más llevadero, resolveremos el problema en un par de etapas. En matemáticas, el papel de los puntos de descanso entre etapas lo hacen los teoremas. Son pequeñas ideas en las que vale la pena detenerse a pensar y afianzar, pues luego nos ayudarán a enfrentarnos con ideas más complicadas.

Como punto de partida, empezaremos con una idea muy sencilla que la historia ha dado en llamar teorema de Bolzano. El teorema de Bolzano, también llamado teorema de los valores intermedios, es conocido entre los estudiantes de secundaria por ser especialmente sencillo. Incluso un servidor ha llegado a escuchar, a modo de burla, la frase: “¡eres más simple que el teorema de Bolzano!”.

Dicho teorema, explicado con un símil futbolístico, viene a decir que no se puede ir de portería a portería sin cruzar la línea de medio campo al menos una vez. ¿Sencillo, verdad?

En términos más matemáticos diríamos algo así como que si una función es continua  en un intervalo (a,b) (esto es, si su gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel entre a y b), en dicho intervalo la función debe tomar, al menos, todos los valores entre f(a) y f(b) (la zona roja del diagrama).

Tres posibles funciones continuas que parten y terminan en puntos comunes. Todas tienen que pasar, obligatoriamente, por la zona roja.

Tres posibles funciones continuas que parten y terminan en puntos comunes. Todas tienen que pasar, obligatoriamente, por la zona roja.

Adicionalmente, si f(a) y f(b) tienen distinto signo, el 0 deberá de estar contenido en la “zona roja”, y por tanto la función tendrá al menos una raíz entre a y b.

Como bien sabemos los que nos dedicamos a las matemáticas, las ideas más simples suelen ser también las más potentes. Pensaba en esto el otro día, tras encontrar una aplicación especialmente bonita de éste teorema en el blog de Carlos Chordá, La ciencia es bella. El artículo original puede leerse aquí, y comienza enunciando un problema, de apariencia impresionante. Lo reproduzco a continuación con permiso del autor y con la intención de ampliar el alcance de sus conclusiones:

Sobre la superficie de la Tierra, en cualquier momento, hay dos puntos diametralmente opuestos (…) que tienen exactamente la misma temperatura. ¿Podrías demostrarlo?

La solución es sorprendentemente simple, y no requiere de apenas cálculos. Para empezar, tomemos dos puntos diametralmente opuestos en la superficie de la Tierra. Por ejemplo, uno en España y otro en Nueva Zelanda:

2

Para medir la diferencia de temperaturas entre un punto y su antípoda, podemos construir una función sencilla con ésta estructura:

Temperatura(punto) – Temperatura(punto opuesto)

En los puntos que hemos dibujado en el mapa, esta función será positiva si en España hace más calor que en Nueva Zelanda, y viceversa. Si la temperatura fuese igual en un punto y su antípoda, la función valdría cero.

Pues bien, el teorema de Bolzano viene en nuestro auxilio: hagamos viajar a nuestro punto hasta las antípodas, y midamos la diferencia de temperaturas entre dicho punto móvil y sus antípodas, también móviles,durante el viaje, en todo momento. Es decir, construyamos una función que evalúe la diferencia de temperaturas a lo largo del camino.

3

Para cuando hayamos llegado a las antípodas[1], la diferencia de temperaturas habrá cambiado de signo, pues lo que antes era nuestro punto de referencia ahora será el punto opuesto, y viceversa. Como la temperatura a lo largo de la trayectoria debe ser una función continua, también lo será una resta de temperaturas y, según el teorema de Bolzano debe haber al menos un cero… y por tanto hay al menos un punto en la trayectoria con temperatura igual a la de sus antípodas.

Sorprendentemente sencillo, ¿no es cierto? ¡Pues aún hay más! Notemos que hay muchas trayectorias posibles para viajar a las antípodas. De hecho, hay infinitas, y en cada una de ellas, según acabamos de ver, debe haber al menos un punto con la temperatura igual a la de su antípoda. Por lo tanto, ¡habrá infinidad de puntos sobre la superficie terrestre con temperaturas iguales a las de sus antípodas!

Varios posibles caminos hacia las antípodas. En cada una, tiene que haber al menos una solución a nuestro problema

Varios posibles caminos hacia las antípodas. En cada una, tiene que haber al menos una solución a nuestro problema

La intuición matemática nos indicará a estas alturas que, seguramente, dichos puntos se agrupen a lo largo de curvas. Para visualizar algunas de estas curvas, se ha creado un generador de funciones continuas sobre una esfera[1] con ayuda de Matlab[2].Analizándolas numéricamente se pueden trazar dichas curvas.

En los siguientes gráficos se representan un par de éstas funciones en escala de colores (como es habitual, más rojo es más caliente, más azul es más frío). Además, se representan con líneas rojas los puntos con temperatura igual a la de sus antípodas.

Efectivamente, se agrupan en curvas con curiosas formas:

56

Es interesante notar que en los ejemplos anteriores es imposible ir de ningún punto al opuesto sin cruzar al menos una vez una línea roja, como era de esperar.

Ésta es una de las muchas aplicaciones, bellísimas y a menudo inesperadas, de una de las ideas más sencillas de las matemáticas. Hay muchas más, naturalmente, pero por hoy ya hemos tenido bastante.


Este post ha sido realizado por Pablo Rodríguez (@DonMostrenco) y es una colaboración de Naukas con la Cátedra de Cultura Científica de la UPV/EHU.

Anotaciones y referencias de interés:

[1] Aunque visualicemos la curva como la trayectoria de un viaje, realmente se trata de un ente ideal. Podemos (y de hecho debemos) suponer que el viaje se hace a una enorme velocidad, de manera que los cambios temporales de la temperatura no entran en juego. O equivalentemente, podemos pensar que la temperatura permanece constante.

[2] Tan sólo he impuesto que sean continuas y periódicas en la coordenada longitud geográfica. No he entrado en consideraciones climatológicas.

[3] Si algún lector entusiasta quiere hacerse con el código, no dude en pedírmelo. Se lo suministraré con mucho gusto.

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30 responses to “El poder de una idea sencilla

  • El poder de una idea sencilla | Ponga un mostrenco en su vida

    […] mío en su blog, Cuaderno de Cultura Científica. Se trata de un artículo divulgativo, se titula El poder de una idea sencilla, y comienza […]

  • andso0n

    De acuerdo con que “La práctica de las matemáticas consiste, fundamentalmente, en pensar y desarrollar ideas.”, pero ¿qué tiene esto que ver con “lo que la mayoría de la gente cree” o con “el lego”? Puede parecer pedante traer a colación este tipo de comentarios.

    En cuanto a que “no requieren de ninguna formación previa para ser comprendidas e incluso aplicadas”, cuidado con generalizar porque puede llevar a engaño. Las ideas en matemáticas se caracterizan por ser precisas y complejas, sólo hay que pensar en las dependencias entre definiciones, o entre definiciones y teoremas (y lemas, y corolarios). Por otra parte, la aplicación de las matemáticas requiere un conocimiento sólido de los contextos en los que resulta adecuada, por no hablar ya de la dificultad de comprender por qué resulta adecuada. Otra cosa es que haya algunas ideas para las cuales se pueda afirmar con certeza que son sencillas o cuyo ámbito de aplicación resulte relativamente fácil de adivinar, como podría ser el caso que expones, aunque también esto podría ser objeto de discusión.

    Finalmente, dudo que las ideas que “han dado frutos enormes” las podamos considerar sencillas, más bien diría que en esto confundimos familiaridad con sencillez. Basta con apreciar la de siglos (y personajes) que han sido necesarios para alcanzar el grado de madurez matemática del que disfrutamos en la actualidad. Se me hace difícil achacar este hecho a una mera contingencia histórica.

    • Mostrenco (@DonMostrenco)

      Te responderé con otra pregunta: ¿cuántos lectores crees que llegarían hasta el final de éste artículo divulgativo si comenzase usando tus mismas palabras?

      • andso0n

        No me parece que haya incompatibilidad entre cuanto he comentado y el objetivo de llegar al máximo de lectores. Si me preguntas por cómo hacerlo, puede que no sea yo quién para dar lecciones sobre esto. Pero, por ejemplo, usando en lo posible tus mismas palabras, podrías haber dicho algo así como:

        “Las matemáticas no se ocupan solamente de cálculos tediosos y complicados. De hecho, la práctica de las matemáticas consiste, fundamentalmente, en pensar y desarrollar ideas. Algunas de estas ideas, de una sencillez pasmosa hasta el punto de no requerir de apenas ninguna formación previa para ser aplicadas en la práctica, permiten obtener resultados sorprendentes y hasta espectaculares como el que veremos a continuación.”

        Debo decir que, y aquí hablo por mi experiencia, no ayuda especialmente a atraer la atención hacia las matemáticas el repetir hasta la extenuación que son fáciles, principalmente porque todo el mundo sabe, y no se engaña, que no lo son.

  • El poder de una idea sencilla

    […] El poder de una idea sencilla […]

  • El poder de una idea sencilla | Mi Cajón...

    […] Al contrario de lo que la mayoría de la gente cree, las matemáticas no se ocupan solamente de cálculos tediosos y complicados. La práctica de las matemáticas consiste, fundamentalmente, en pensar y desarrollar ideas.  […]

  • Susi

    ¿Y no hay que demostrar que el diferencial de temperaturas entre un punto y su antípoda es una función continua?

    • umqualquer

      No. Si aceptamos que el diferencial no es contínuo, entonces quiere decir que de un punto al punto adyacente existe un salto de temperatura: es decir, vas andando por la calle, y la temperatura cambia sin que exista una zona de temperatura interemedia. Eso es físicamente imposible, por lo que si, la temperatura es contínua y derivable😉

      • umqualquer

        me auto-responto, porque metí la pata: que el diferencial no sea contínuo implica no un salto de temperatura, sino un cambio brusco en la dirección de cambio de ésta (es decir, un “pico”).
        Entonces, tras lamerme las heridas, vuelvo atrás y dejo la pregunta de Susi en el aire. Un punto de choque entre aire caliente y aire frio podría hacer un punto como el que Susi plantea… o no?

      • andso0n

        La respuesta a la pregunta de Susi es que sí. Aunque supongo que era retórica. En cuanto a la de umqualquer, digamos que en caso de darse, siempre podríamos “suavizar” este tipo de discontinuidades, dado que no hay saltos hacia el infinito. Hay que matizar, también, que no por haber realizado esta simplificación el resultado pierde su atractivo.

    • Mostrenco (@DonMostrenco)

      Basta suponer que la temperatura puede modelarse como una función continua, cosa totalmente razonable.

      La diferencia de temperaturas será entonces una resta de funciones continuas, y por tanto también continua.

  • Tacataca

    Precioso y muy matemático, al problema original nos lo saltamos y resolvemos algo que no se pide ni se pregunta usando un teorema y muchas curvas.
    Precioso. El enunciado del problema no es si entre dos puntos de la tierra hay temperatura cero o igual. Si no que si hay dos puntos diametralmente opuestos que tenga la misma temp.
    Siguiendo el razonamiento del post, todos los puntos de la tierra valdrían ; todos tendrían la misma temp. Y en todas partes, ya que se puede ir de cualquier punto de la tierra a otro en un camino continuo.

    “Notemos que hay muchas trayectorias posibles para viajar a las antípodas. De hecho, hay infinitas, y en cada una de ellas, según acabamos de ver, debe haber al menos un punto con la temperatura igual a la de su antípoda. Por lo tanto, ¡habrá infinidad de puntos sobre la superficie terrestre con temperaturas iguales a las de sus antípodas!”
    Claro hombre, de hecho en todas partes del mundo ha e la misma temperatura, en todas las épocas del año!
    Con dos guevos!
    Lo que matemáticamente sobre un papel es perfecto te lo estropea la realidad.
    Espero que el autor no sea profesor de matemáticas, por que con estas explicaciones no me extraña que los alumnos salgan como salen

    • Ozanúnest

      “Precioso. El enunciado del problema no es si entre dos puntos de la tierra hay temperatura cero o igual. Si no que si hay dos puntos diametralmente opuestos que tenga la misma temp.”
      Va a ser que a usted las matemáticas no se le dan bien (ni redactar, por cierto). Si Paco tiene dos euros y Juan cuatro, Juan tiene dos euros más que Paco. Si Paco y Juan tuvieran cada uno tres euros, Paco y Juan tendrían el mismo dinero, esto es, Paco tiene cero euros más (o menos) que Juan, y viceversa.

      “Y en todas partes, ya que se puede ir de cualquier punto de la tierra a otro en un camino continuo.”
      Tengo para mí que no puede ser de otra manera. Incluso si usted fuera en barco, avión o montado en burro-taxi; estos vehículos harían el camino continuo.

      “Claro hombre, de hecho en todas partes del mundo ha e la misma temperatura, en todas las épocas del año!”
      Que sea usted un ignorante en matemáticas ya es malo, pero que lo sea además en geografía y geología debería ser penado por las leyes. Sí que existe eso: se llama clima ecuatorial. Es una zona del mundo donde sólo hay una estación lluviosa y otra seca, pero la temperatura se mantiene bastante contante a lo largo del año. Pregunte usted a un habitante de las tierras bañadas por el Caribe, y verá cómo le digo la verdad.

      “Espero que el autor no sea profesor de matemáticas, por que con estas explicaciones no me extraña que los alumnos salgan como salen”
      Y yo que usted no tenga hijos, porque en razón de su sagacidad y conocimientos, demasiado bueno será que sólo sean como en ese capítulo de South Park en que Kenny se bebe un trago de gasolina y los demás lo llaman machote.

    • Mostrenco (@DonMostrenco)

      @Tacataca, una curva suele tener más de un punto. Que haya al menos una solución por curva no implica que todos los puntos sean solución.

      Y ahora, un consejo a nivel personal: antes de dar por sentado que algo es incorrecto, intenta entenderlo… no sé, al menos haz una segunda lectura.

  • domingo

    no lo he entendido, es lo que tiene ser un analfabeto funcional en matemáticas

    • andso0n

      Probablemente no lo seas, pero te lo hayan hecho creer. Este tipo de cosas se entienden mejor cuando conoces y te acostumbras a utilizar las nociones en que se fundamentan.

  • nobody

    Muy interesante artículo. Una pregunta desde el desconocimiento, el punto medio del recorrido tendrá como antípoda a sí mismo y cumplirá lo que se plantea sobre la temperatura, es así? Pero claro ese punto no es significativo, habría que demostrar que existe al menos un punto distinto al medio cuya antípoda tenga la misma temperatura.

  • Ya vorví

    Como el PP se entere de que existe esta página dedicada a la ciencia te vana meter en la cárcel. La Ciencia se opone a la Religión, no lo olvides, y para los fascistas la Religión es lo primero. Que no se entere Wert.

  • Xavi Torrents

    “Espero que el autor no sea profesor de matemáticas, por que con estas explicaciones no me extraña que los alumnos salgan como salen”
    ….no se si conocéis esa expresión tipo “Hoy hace un dia de p**a madre….ya verás como viene alguien y lo jode!”, pues eso…..; Personalmente solo puedo estar agradecido por dedicar tu tiempo a divulgar sobre las matemáticas, y que gracias a post como este solo despiertan en mi (lego común) más interés por la ciencia si cabe y no tanta crítica y e ironía de la mala.

    • Mostrenco (@DonMostrenco)

      Gracias a ti Xavi Torrents, por dedicarme tu tiempo.

      En cuanto a los comentarios fuera de tono, no hay que tomarlos muy en serio… son inevitables gajes del oficio. La primera vez sorprende, sobretodo al aparecer en artículos de matemáticas y no de política, pero al final te acostumbras.

      • andso0n

        Lamento, y pido disculpas, si mis comentarios han podido molestar a alguien o dar pie a comentarios de otro tipo.

        Si hay quienes consideran elitista la práctica de la ciencia, y de las matemáticas en particular, me parece mejor evitar ciertas comparaciones que, por otra parte, no creo que aporten valor. Por supuesto, puede haber quien se sienta cómodo en un mundo dividido en clases. Este no es mi caso. Y lo digo sin ningún tipo de ironía. Otra cosa es que no sea este el lugar para debatir este tipo de cuestiones, pero, de nuevo, al tratarse de temas que me interesan particularmente, en especial el de la simplicidad o intuitividad de las ideas matemáticas, no pude resistir la tentación de escribir algo al respecto. Seguro que no lo más acertado.

      • Mostrenco

        No me refería a ti, andsoon, con lo de los comentarios fuera de tono.

        Me sorprende que te hayas dado por aludido.

      • andso0n

        Me pareció advertir esa alusión en la adscripción de Xavi Torrents al “lego común”. En cualquier caso, no es tanto esto sino el hecho de haber podido, sin pretenderlo, suscitar estas actitudes ante tu texto.

  • Tim

    De hecho, usando resultados de topología (en concreto el teorema de Borsuk-Ulam) puede probarse que existen en la Tierra al menos dos puntos antipodales con la misma presión Y temperatura. No sé si habrá una forma más sencilla de llegar a esta conclusión.

    Una entrada muy interesante para ver cómo piensan los matemáticos que, efectivamente, no son solo cálculos, y que hay ideas bastante sencillas que cualquiera puede entender.

    • Mostrenco (@DonMostrenco)

      Desconozco ese teorema, gracias por el apunte.

      El argumento de Bolzano también vale para la presión, humedad, altitud, etcétera. Con tal de que sean variables modelables como funciones continuas, el razonamiento sería el mismo.

  • Tarada mental

    Pedazo de flame han montado aquí los cuatro envidiosos de turno. Les dejas hacer un grado superior de contabilidad y ya se creen el nuevo Gödel.

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