El efecto Richardson, la clave del estudio moderno de los fractales

Aunque ha habido algunas discusiones acerca de su definición, podemos decir que un fractal es un objeto irregular que presenta autosimilitudes a ciertas escalas. Ejemplos típicos de fractal son, por ejemplo, el Romanescu (en la naturaleza) o el conocido como conjunto de Mandelbrot:

rom-man

Precisamente el propio Benoit B. Mandelbrot (1924- 2010) está considerado como el padre de la geometría fractal, rama de las matemáticas encargada del estudio de estos objetos. Y no es demasiado atrevido asegurar que la semilla a partir de la cual emergió este campo es el artículo de Mandelbrot How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension publicado en la revista Science en 1967. Lo que puede que no sepa todo el mundo es que la idea clave de este artículo proviene de un estudio anterior del matemático inglés Lewis Fry Richardson (1881-1953).

RichardsonPero antes de comentar cuál fue esa idea vamos a ver qué tenía entre manos Lewis Richardson cuando llegó a ella. Además de matemático, Richardson era pacifista (y algunas cosas más), y en un momento de su vida se encontraba estudiando las causas de las guerras y cómo prevenirlas.

En relación con esto pensó en estudiar cómo influía en que dos países entraran en guerra la longitud de frontera común que tuvieran, y recopilando datos sobre ello se encontró con cosas extrañas. Tan extrañas como que los datos de la longitud de ciertas fronteras variaban según la fuente que consultara. Y no variaban un poco, sino que lo hacían bastante, hasta en un 20% en algunos casos.

Estas variaciones no podían deberse al azar, tenían que estar producidas por algo. Y después de recoger una buena cantidad de datos Richardson llegó a la siguiente conclusión: la longitud de la frontera entre dos países depende de la unidad que se use para medir.

Es decir, si medimos la frontera común entre dos países con una regla que mida 20km obtendremos un resultado, pero si utilizamos una regla más pequeña, de, por ejemplo, 10km, el resultado obtenido será muy distinto, y además mayor.
Esto se puede apreciar en la imagen siguiente, en la que se mide la costa de Gran Bretaña con unidades de medida de 200km (izquierda), 100km (centro) y 50km (derecha):

Britain-fractal-coastline-combinedLos resultados que se obtienen de la longitud de dicha costa son, de izquierda a derecha, 2350km, 2775km y 3425km. Se aprecia aquí la sustancial diferencia en la longitud de esta costa para distintas unidades de medida.

El caso es que no tendríamos por qué pararnos ahí, podríamos afinar más. Podríamos utilizar unidades de medida más pequeñas para obtener cada vez aproximaciones más precisas de la longitud de la frontera entre dos países, o de la longitud de una costa cualquiera, como la de Gran Bretaña. Se entiende que poco a poco nos iremos acercando al número finito que corresponderá con el valor real de esas longitudes, ¿no?

Pues no. Lo que Richardson obtuvo a partir de sus datos es que ese valor crece indefinidamente conforme vamos aumentado la escala. Es decir, que cuanto más afinamos con la unidad de medida mayor valor obtenemos para esas longitudes, y no podemos dejar de afinar. Vamos, que el límite (teórico) de estas aproximaciones sería infinito. Esto es lo que se conoce como efecto Richardson.

Por tanto, no podemos aspirar a encontrar la longitud concreta de la frontera común de dos países, o la longitud de la costa de Gran Bretaña, sencillamente porque no la hay. Si medimos esta costa desde un avión situado a 10km de altura obtendremos un valor para dicha longitud que (a escala) será menor que el obtenido si medimos desde el suelo paseando por la orilla del mar. Y éste valor será a su vez menor que el que se obtendría si utilizamos para medir un aparato del tamaño de una hormiga que vaya recorriendo la costa. Y así sucesivamente.

Para terminar, comentar que Lewis Fry Richardson también se dedicó a la Física y la Meteorología, siendo pionero en la utilización de técnicas matemáticas para la predicción del tiempo atmosférico. También da nombre al número de Richardson, que expresa la relación entre la energía potencial y la energía cinética de un fluido, y al método de extrapolación de Richardson, mediante el cual se puede mejorar el orden de convergencia de una sucesión.

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Este artículo es una colaboración de la web Naukas.com con la Cátedra de Cultura Científica y su autor es @Gaussianos, uno de los más destacados divulgadores en el campo de las matemáticas.

Fuentes y más información:
Una nueva manera de ver el mundo, de Maria Isabel Binimelis.
Lewis Fry Richardson en Wikipedia


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